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差分数组的基础概念

差分数组并不是简单的相邻元素之差，而是用来表示原数组中每个位置与其前一位置的增量变化。对于一个长度为 $n$ 的数组 $A$，其对应的差分数组 $D$ 的定义如下：

• $D[0] = A[0]$ （第一个元素保持不变）
• 对于 $1 \leq i < n$，$D[i] = A[i] - A[i-1]$

但是，当我们使用差分数组进行区间更新时，我们并不直接计算相邻元素的差值，而是利用差分数组的特性来进行高效的区间操作。

区间更新与差分数组

假设我们有一个数组 $A$ 和一个差分数组 $D$，并且我们想要对 $A$ 中从索引 $l$ 到 $r$（包括两端）的每个元素都增加一个值 $x$。我们可以只在差分数组 $D$ 上做两个修改：

• $D[l] += x$：表示从 $l$ 开始增加 $x$。
• $D[r+1] -= x$：表示到 $r$ 结束后不再增加 $x$。

然后，通过对差分数组 $D$ 求前缀和，我们可以恢复原始数组 $A$ 更新后的状态。

例子

原始数组

$A = [1, 2, 3, 4, 5]$

构建差分数组

根据上述规则，差分数组 $D$ 可以初始化为： $D = [1, 1, 1, 1, 1]$ 这里 $D[0] = A[0]$，而 $D[i] = A[i] - A[i-1]$ 对于 $i > 0$。

进行区间更新

假设我们要将 $A$ 中索引 1 到 3（即第二个到第四个元素）的值各增加 2。我们只需在差分数组 $D$ 上做以下两步：

• $D[1] += 2$
• $D[4] -= 2$

更新后的差分数组变为： $D = [1, 3, 1, 1, -1]$

恢复原始数组

为了得到更新后的 $A$，我们需要对差分数组 $D$ 求前缀和： $A'[0] = D[0] = 1$ $A'[1] = D[0] + D[1] = 1 + 3 = 4$ $A'[2] = D[0] + D[1] + D[2] = 1 + 3 + 1 = 5$ $ A'[3] = D[0] + D[1] + D[2] + D[3] = 1 + 3 + 1 + 1 = 6 $ $ A'[4] = D[0] + D[1] + D[2] + D[3] + D[4] = 1 + 3 + 1 + 1 - 1 = 5 $

因此，更新后的数组 $A'$ 是： $A' = [1, 4, 5, 6, 5]$

总结

在这个例子中，我们展示了如何使用差分数组高效地执行区间更新。关键点在于，我们只需要在差分数组的两端进行修改，然后通过求前缀和就可以恢复更新后的原数组。这种方法特别适用于需要频繁进行区间更新的情况，因为它避免了对每个元素逐一进行修改，从而大大提高了效率。